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《算法导论》笔记--红黑树(一)

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满足下面几个条件的二叉搜索树,称为红黑树:

1.       任何一个节点都被着色――红色或是黑色。

2.       根节点是黑色的。

3.       所有的NIL节点都看成黑色(NIL节点是就是一个假想的或是无实在意义的节点,所有应该指向NULL的指针,都看成指向了NIL节点。包括叶节点的子节点指针或是根节点的父指针)。

4.       如果一个节点是红色的,那么它的子节点一定是黑色的。

5.       对于任何一个节点而言,从该节点到它的子孙节点中的NIL节点路径中,所包含的黑节点个数相同。

 

黑高度的定义:

从任何一个节点,向下到底部的路径中,包含的黑节点的个数,称为这个节点的黑高度。从红黑树的第5条性质可以看出,黑高度是唯一的、确定的。

 

只要同时满足红黑树的这些条件,就一定会有“红黑树可以保证任何两条从根部到树叶的路径节点个数相差不超过2倍”这个平衡的性质。

我们可以假设,如果存在两条路径LSLS长两倍以上(S路径上有n个节点,L上有大于2n个节点)。可知,S的黑高度最大只可能是n,那么根据第5条性质,L的黑高度也大也只可能是n,也就是,L路径上一定有超过n个红色节点(因为节点不是黑的就必定是红的)。所以,肯定会有两个以上的红色节点是相邻的。这就与第4个条件矛盾了。所以,红黑树可以保证任何两条从根部到树叶的路径节点个数相差不超过2倍。

 

红黑树的高度h<2lg(n+1)(这个在《算法导论》13.1节中有证明)。也就是说,红黑树的操作的时间复杂度是O(lgn)的。 

 

二叉搜索树的操作时间复杂度,取决于树高h,因此,我们当然就希望h尽量地小以提高操作的效率。从直观上就可以发现,二叉搜索树各子树的规模越平均,它的高度就会越小。所以在应用中,一般都会将二叉搜索树实现成一种平衡树,以保证最差时间复杂度为O(lgn)。红黑树就是其中的一种,应用得很广泛(SGI STLsetmap就是基于红黑树来实现,Linux内核中也用到这个数据结构

红黑树是二叉搜索树的一种。它与普通二叉搜索树不同的是,红黑树的每个节点都附加了另一个属性――颜色,可以是红色,也可以是黑色。通过对于每条路径上节点颜色的规则进行限定,红黑树可以保证任何两条从根部到树叶的路径节点个数相差不超过2倍。所以,红黑树是一种近似平衡的二叉搜索树。

 

红黑树的查找、最大值、最小值、前趋、后继等操作,与普通的二叉搜索树没有什么区别。插入和删除操作需要重新实现。仅仅用普通的二叉搜索树的插入和删除动作,可能会破坏红黑树本身的一些性质,因此,需要进行额外的处理。这些额外的处理主要是改变树节点的颜色,或是改变树的结构。

 

 

 

 

 

 

树的旋转

改变树的结构,主要是用旋转。旋转有两种,左旋和右旋,下面是这两种旋转的: 

这种旋转的操作,是在二叉搜索树的局部对树的结构进行调整的一种方式,经过旋转之后,二叉搜索树的性质是不会发生改变的。如下图:
 

 

向红黑树插入节点,先将需要插入的节点着成红色,用普通二叉搜索树的方法将这个节点插入到树中,然后再想办法把被破坏的红黑性质恢复。(将新插入的节点颜色着成红色,呆以尽量减少对红黑性质的破坏,恢复起来也容易。因为插入红色节点的话,那么被破坏的部分会在局部,考虑的问题也就比较少,恢复过程也容易形成递归,详细见下文说明)

我们考虑下,如果一个红色节点(下文称用Z指向它)被插入到树中,那么有哪些红黑性质可能被破坏呢?只有第2条(根节点是黑色的)以及第4条(红色节点的子节点一定是黑色节点),其它都不会被破坏。

如果插入的节点的父节点是黑色的,那么不需要做任何调整,这红黑树是正常的。如果父节点是红色,或没有父节点(也就是插在了树根的位置),那么就要进行调整以保证红黑树是正确的。

首先对第4 条进行分析,我们知道,插入一个新的节点,这个节点肯定会被放到树的底部成为一个叶节点(参考普通二叉树的插入过程),那么这个红色节点就没有可能和自己的子节点同色(因为叶节点的子节点是NIL节点,都是黑色的),如果第4条被破坏的话,肯定是Z指向的节点的父节点是红色的。因此,为了使分析和解决更加容易和清晰,我们在对树进行调整以恢复红黑特性时,始终使得Z总是指向相邻红色的节点中的子节点(指针Z可能会向上升到树的中部或根部)。基于这个做法,我们可以知道,如果是第2条被破坏了的话,也就是Z指向根节点了,那么第4条肯定就符合了(因为Z的父节点是NIL,黑色的),因此对第2条性质的恢复变得很简单,只需要被根从红色变为黑色即可。这时,所有性质都会被满足了(因为是根节点,所以根节点被着为黑色时,所有路径都黑高会统一加1,也就是第5条不会被破坏,操作之后的红黑树仍然是正确的)。好了,现在只留下第4条性质的恢复的问题了。

如果第4条被破坏了,也就是说,Z的父节点是红色的,那么,说明,Z一定有祖父节点,而且是黑色的(否则插入前原树就有问题,又或是调整时的方法不正确)。因此可以把问题放到以Z的祖父节点为根节点的子树内进行解决,这样可以把调整的范围最小化,而且这也是有可能的:只要不改变这子树的黑高度,那么就不会对树的其它部分产生影响。我们要做的就是在这个子树范围内把红黑性质调整回来。再看子树的根是否与其父节点同为红色,是的话,就再次用前面所说的去解决它,一直向上递归到红黑性质被恢复为止。

 

红黑树的节点插入 

 

  对第4条性质的恢复,根据Z的父节点是Z的祖节点的左子节点还是右子节点,分为两组对称的情况,每组有3种情况。下面我们只对其中一组进行说明,以Z的父节点是Z祖节点的左子节点为例:  

RBT-Insert3

第一种:Z的“叔父”节点是红色。

 

             RBTree1 

 

如上图所示,在这种情况下,将父、叔节点都着为黑色,再将子树根节点着为红色,那么子树的黑高度没有发生改变,而且红黑性质得得到了调整。此时,再将Z指向子树的根节点,向上递归恢复红黑特性。

 

第二种:Z的“叔父”节点是黑色的,Z的父节点的左子节点。
 

如上图,将Z的父节点与祖节点进行一次右旋,并把父节点着黑色,原来的祖节点着红色。这些子树的红黑特性得到了恢复,而且子树的黑高度没有变化。另外,由于子树根节点已经是黑色了(这个节点不会出现父子同为红色的问题了),所以不必再向上递归了,此时整个树的红黑特性都已经是正确的了。

 

第三种:Z的“叔父”节点是黑色的,Z的父节点的右子节点。 

 

如上图,将Z本身与其父节点进行一次左旋,让Z指向原来的父节点,就可以调整为情况二,而情况二已经得到解决。

这样,红黑树的节点插入问题就得到了解决。

 

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评论
2 楼 liyiwen007 2010-07-20  
dracularking 写道
第三种情况的图是不是不对,z成左子节点了?

确实有问题~!谢谢你的提醒,已经修正了图片。

1 楼 dracularking 2010-07-20  
第三种情况的图是不是不对,z成左子节点了?

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